Elektrotechnik

Netzwerkberechung mit dem Maschenstromverfahren

-Der vollständige Baum

Der vollständige Baum besteht aus (k-1) Baumzweigen , die alle Knoten eines Netzwerkes derart miteinander verbinden , daß keine geschlossenen Masche gebildet wird .
Die restlichen z-(k-1) Zweige des Netzwerkes heißen Verbindungszweige .

Wobei gilt :
z = Anzahl der Zweige
k = Anzahl der Knoten

-Maschenstromverfahren

Ein System von z-(k-1) unabhängigen Maschengleichungen ergibt sich dadurch , daß in dem Netzwerk Maschenumläufe gewählt werden , von denen jeder genau einen Verbindungszweig berücksichtigt .
Es bleiben daher z-(k-1) Unbekannte , für die fiktive Kreisströme (Maschenströme) gewählt werden .
Ein tatsächlicher Zweigstrom errechnet sich dann als Summe aller in einem Zweig fließenden Maschenströme .
Diese Summenbildung kann jedoch eingespart werden , wenn diejenigen Zweige , in denen die Ströme gesucht sind , als Verbindungszweige gewählt werden , da in diesem Fall die gesuchten Ströme 
gleichzeitig die Maschenströme sind .

Sind im Netzwerk Stromquellen vorhanden , so müssen diese in Spannungsquellen gewandelt werden .
 

Ein komplettes Beispiel des Maschenstromverfahrens

Schaltung :
 

U1 = 8 V U2 = 12 V R1 = 2 W R2 = 6 W R3 = 4 W R4 = 8 W     I3 ist gesucht .

Nun wird ein Schema gebildet , nach der Aussage des oberen Textes . 

Schema :
 

Berechnet man nun z-(k-1) mit z=3 und k=2 , so ergibt sich 3-(2-1) = 2 . Dies bedeutet , das 2 Unbekannte vorhanden sind . Es werden demnach nur 2 Gleichungen aufgestellt . In das Schema werden nun alle Maschen und alle Ströme eingezeichnet .  Jede Verbindung von K1 nach K2 ist ein Zweig .

Auflösung des Schemas :
 

Masche 2 sollte so gewählt werden , weil der gesuchte Strom I3 in diese Richtung fließt . Es gilt : I4 = I1 + I3 Da I3 gesucht ist , brauchen wir I4 nicht zu errechnen . Bem.: Die Maschenrichtung ist frei wählbar !!

Dieses Schema wird nun auf die Ausgangsschaltung bezogen , alle Maschen und Ströme werden eingezeichnet .

Danach werden die Maschen M1 und M2 entwickelt und Rechnerisch die gesuchten Ströme ausgelöst .

Die so ergänzte Schaltung kann nun Ausgerechnet werden .
 

U1 = 8 V U2 = 12 V R1 = 2 W R2 = 6 W R3 = 4 W R4 = 8 W     I3 gesucht

Auflösen der Maschen :
 
 

Masche 1

Masche 2

M1à I1*R4-U2+I1*R2+U1+I1*R1+I3*R4=0	M2à I3*R3+I3*R4-U2+I1*R4=0
I1(R4+R2+R1)+I3*R4=U2-U1	I1*R4+I3(R3+R4)=U2

Einsetzen der Werte in die Gleichungen :
 

I1(16 W )+I3(8 W )=4V

I1(8W )+I3(12 W )=12V

Jetzt kann I3 mit Hilfe des Additionsverfahrens errechnet werden .

Der vollständigkeit halber die anderen Ströme I1 und I4 :
 
 
 

I1	I4
I1(16 W )+I3(8 W ) = 4V I1(16 W )+1,25A(8 W ) = 4V .... I1 = -0,375 A	I4=I1+I3 I4=1,25A+(-0,375A) I4 = 0,875 A

Das Maschenstromverfahren

Schaltung
 

U1 = 12V U2 = 9V U3 = 5V R1 = 3 W R2 = 2 W R3 = 4 W R4 = 5 W   I1 , I3 , I4 werden gesucht .

 

Bilden der Maschen M1 und M2 nach dem vereinfachten Verfahren .
 
 

M1	M2
I11(R1+R3)+U1+U3-I22*R3=0	I22(R3+R2+R4)+U2-U3-I11*R3=0

Auslösen von I22 mit dem Additionsverfahren :
.

Errechnen von I11 mit M1 :

Errechnen von I3 :