Elektrotechnik
Widerstand
 .
 Die Schaltung von Widerständen
 .
 Das Maschenstromverfahren
 

Netzwerkberechung mit dem Maschenstromverfahren

-Der vollständige Baum

Der vollständige Baum besteht aus (k-1) Baumzweigen , die alle Knoten eines Netzwerkes derart miteinander verbinden , daß keine geschlossenen Masche gebildet wird .
Die restlichen z-(k-1) Zweige des Netzwerkes heißen Verbindungszweige .

Wobei gilt :
z = Anzahl der Zweige
k = Anzahl der Knoten


-Maschenstromverfahren

Ein System von z-(k-1) unabhängigen Maschengleichungen ergibt sich dadurch , daß in dem Netzwerk Maschenumläufe gewählt werden , von denen jeder genau einen Verbindungszweig berücksichtigt .
Es bleiben daher z-(k-1) Unbekannte , für die fiktive Kreisströme (Maschenströme) gewählt werden .
Ein tatsächlicher Zweigstrom errechnet sich dann als Summe aller in einem Zweig fließenden Maschenströme .
Diese Summenbildung kann jedoch eingespart werden , wenn diejenigen Zweige , in denen die Ströme gesucht sind , als Verbindungszweige gewählt werden , da in diesem Fall die gesuchten Ströme 
gleichzeitig die Maschenströme sind .

Sind im Netzwerk Stromquellen vorhanden , so müssen diese in Spannungsquellen gewandelt werden .
 

Ein komplettes Beispiel des Maschenstromverfahrens

Schaltung :
 
U1 = 8 V

U2 = 12 V

R1 = 2 W

R2 = 6 W

R3 = 4 W

R4 = 8 W
 
 

I3 ist gesucht .

Nun wird ein Schema gebildet , nach der Aussage des oberen Textes . 

Schema :
 
Berechnet man nun z-(k-1) mit z=3 und k=2 , so ergibt sich 3-(2-1) = 2 .
Dies bedeutet , das 2 Unbekannte vorhanden sind .
Es werden demnach nur 2 Gleichungen aufgestellt .
In das Schema werden nun alle Maschen und alle Ströme eingezeichnet . 
Jede Verbindung von K1 nach K2
ist ein Zweig .

Auflösung des Schemas :
 
Masche 2 sollte so gewählt werden , weil der gesuchte Strom I3 in diese Richtung fließt .

Es gilt : I4 = I1 + I3

Da I3 gesucht ist , brauchen wir I4 nicht zu errechnen .

Bem.:
Die Maschenrichtung ist frei wählbar !!

Dieses Schema wird nun auf die Ausgangsschaltung bezogen , alle Maschen und Ströme werden eingezeichnet .

Danach werden die Maschen M1 und M2 entwickelt und Rechnerisch die gesuchten Ströme ausgelöst .

Die so ergänzte Schaltung kann nun Ausgerechnet werden .
 
U1 = 8 V

U2 = 12 V

R1 = 2 W

R2 = 6 W

R3 = 4 W

R4 = 8 W
 
 

I3 gesucht

Auflösen der Maschen :
 
 
Masche 1
Masche 2
M1à I1*R4-U2+I1*R2+U1+I1*R1+I3*R4=0

 

M2à I3*R3+I3*R4-U2+I1*R4=0
I1(R4+R2+R1)+I3*R4=U2-U1
I1*R4+I3(R3+R4)=U2

Einsetzen der Werte in die Gleichungen :
 
I1(16 W )+I3(8 W )=4V
I1(8W )+I3(12 W )=12V

Jetzt kann I3 mit Hilfe des Additionsverfahrens errechnet werden .

.
1.)  I1(16 W )+I3(8 W )=4V
2.)  I1(8 W )+I3(12 W )=12V / *(-2)
.
1.)  I1(16 W )+I3(8 W )=4V
2.)  -I1(16 W )-I3(24 W )=-24V
.
à 0 + I3(8 W )-I3(24 W )=-20V
.
I3(8 W - 24 W ) =-20V
.
I3(-16 W ) = -20V / : (-16 W )
.
I3 = 1,25 A




Der vollständigkeit halber die anderen Ströme I1 und I4 :
 
 
 
I1
I4
I1(16 W )+I3(8 W ) = 4V

I1(16 W )+1,25A(8 W ) = 4V

....

I1 = -0,375 A

I4=I1+I3

I4=1,25A+(-0,375A)

I4 = 0,875 A

Beispiel





Das Maschenstromverfahren

Schaltung
 
U1 = 12V

U2 = 9V

U3 = 5V

R1 = 3 W

R2 = 2 W

R3 = 4 W

R4 = 5 W
 

I1 , I3 , I4 werden gesucht .


 

Es gilt : I11 = I1 ; I22 = -I4 ; I3 = I22-I11




Bilden der Maschen M1 und M2 nach dem vereinfachten Verfahren .
 
 
M1
M2
I11(R1+R3)+U1+U3-I22*R3=0
I22(R3+R2+R4)+U2-U3-I11*R3=0

Auslösen von I22 mit dem Additionsverfahren :
.

1.)  I11(7 W )-I22(4 W )=-17V / *4
2.)  -I11(4 W )+I22(11 W )=-4V / *7
.
1.)  I11(28 W )-I22(16 W )=-68V
2.)  -I11(28 W )+I22(77 W )=-28V
.
à I22(61 W )=-96V / :61 W
.
I22 = -1,573 A = -I4 à I4 = 1,573 A





Errechnen von I11 mit M1 :

I11(28 W ) - I22(16 W ) =-68V / I22 einsetzen

I11(28 W )-(-1,1573A*16 W )=-68V

I11(28 W )+25,168V=-68V

....

I11 = -3,327 A = I1




Errechnen von I3 :

I3=I22-I11

I3=-1,573A-(-3,327AA)

I3=-1,573A+3,327A

I3 = 1,754 A





Autor : Heiko Haedicke
Copyright : Heiko Haedicke
Datum : 28.12.98
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